已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4，直线L1过定点A(1.0)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 08:53:25
若L1与圆C 相交于P,Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值,并求此时L1的直线方程

各位数学好的亲，我要详细过程和结果，我算了一半，算不下去了~~

求面积最大的话按S=1/2abSinC公式来看ab=半径*半径=4是定植
所以只有尽量让SinC取最大 得出角C是90度 SinC=1
是一个等腰直角三角形 面积为2即最大值
两腰即半径长2 推出长为2√2的底边即PQ上的高长√2
既圆心到所求直线的距离为√2，又直线过(1,0)
设y=k(x-1)
用点到直线距离公式|3k-4-k|/√(k^2+1)=√2
解的得k=7或k=1
所以此时直线方程为7x-y-7=0 or x-y-1=0

我的思路应该没问题哒..就是讲得很罗嗦哦．．

解：由题意得，圆C的半径是2，△CPQ为等腰三角形，CP=CQ=2
过点C作高CK⊥PQ于K，于是
设△CPQ的高CK=h，底PQ=2b，PK=KQ=b
可得S△CPQ=bh
又在直角三角形CKP中，b^2+h^2=4,由均值不等式知4>=2bh
即S△CPQ<=2
△CPQ的面积的最大值为2
当且仅当b=h=√2时取到最大值2
也就是说点C到L1的距离h为√2
到此有两种思路：
思路1：
若L1无斜率（与x轴垂直）则L1方程为x=1，显然不与该圆相切。
因此L1有斜率k
设L1方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0
由点到直线距离公式可知k=1或k=7
因此所求方程为x-y-1=0或7x-y-7=0
思路2：
或者说是L1与以C为圆心，h为半径的圆相切。
而该圆方程为:(x-3)^2+(y-4)^2=2
同思路1得L1方程为y=k（x-1），
与该圆方程联立，整理为关于x的一元二次方程，并使其判别式为0，即可求得k
余略